Question

12．若函数f（x）对任意x∈R，满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²．函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，x＞0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-11，11]上零点的个数为20．

Answer 1

分析 由f（x-1）=f（x+1），得函数的周期是2，由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出函数f（x）和g（x）在区间[-11，11]上的图象，利用数形结合判断两个函数的交点个数即可．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x）=f（x+2），
即函数f（x）的周期是2，
由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
∵当x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²．
∴作出函数f（x）和g（x）在区间[-11，11]上的图象如图：
由图象知两个函数有20个交点，
故函数的零点个数为20，
故答案为：20

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件将函数 转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．