Question

18．已知a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1，求证：$\frac{a^2}{1+a}$+$\frac{b^2}{1+b}$+$\frac{c^2}{1+c}$+$\frac{d^2}{1+d}$≥$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质即可证明．

解答 证明：∵$[（1+a）+（1+b）+（1+c）+（1+d）]（\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}+\frac{d^2}{1+d}）$
$≥{（\sqrt{1+a}•\frac{a}{{\sqrt{1+a}}}+\sqrt{1+b}•\frac{b}{{\sqrt{1+b}}}+\sqrt{1+c}•\frac{c}{{\sqrt{1+c}}}+\sqrt{1+d}•\frac{d}{{\sqrt{1+d}}}）^2}$
=（a+b+c+d）²=1，
又（1+a）+（1+b）+（1+c）+（1+d）=5，
∴$\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{c^2}{1+c}+\frac{d^2}{1+d}≥\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的证明，关键是掌握基本不等式的性质，属于中档题．