Question

8．如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE-BCF，如图2．

（1）若AF⊥BD，证明：△DEB为直角三角形；
（2）若DE∥CF，证明：BE∥平面ACD；
（3）在（1），（2）的条件下，求三棱锥B-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）由BE⊥AF，BD⊥AF可得AF⊥平面BDE，故而AF⊥DE，又AE⊥DE得出DE⊥平面ABFE，于是DE⊥BE；
（2）取AC的中点G，连接OG，DG，则四边形OGDE为平行四边形，于是DG∥BE，从而BE∥平面ACD；
（3）证明AE⊥平面EFCD，于是V_B-ACD=V_E-ACD=V_A-CDE．

解答 （1）证明：由已知得四边形ABFE为正方形，∴AF⊥BE，
又AF⊥BD，BE∩BD=B，
∴AF⊥面BDE，又DE?平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AF∩AE=A，
∴DE⊥平面ABFE，
又BE?平面ABFE，
∴DE⊥BE，
∴△DEB为直角三角形．
（2）证明：取AC的中点G，连接OG，DG，则$OG∥\frac{1}{2}CF∥DE$，
则四边形DEOG为平行四边形，
∴BE∥GD，
又BE?平面ACD，GD?平面ACD，
∴BE∥平面ACD．
（3）解：∵AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，
∴AE⊥平面CDE．
∴${V_{A-CDE}}=\frac{1}{3}×{S_{△CDE}}×AE=\frac{1}{3}×{S_{△DEF}}×AE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$，
∴V_B-ACD=V_E-ACD=V_A-CDE=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．