Question

13．（1）已知：x∈（0+∞），求证：$ln（\frac{1}{x}+1）＞\frac{1}{x+1}$；
（2）已知：n∈N且n≥2，求证：$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）设$\frac{1}{x}=t$，令f（t）=ln（t+1）-$\frac{t}{t+1}$，判断f（t）在（0，+∞）上的单调性，得出f（t）的值域从而得出结论；
（2）把x=1，2，3，…，n-1代入（1）的结论，各式相加即可得出结论．

解答 证明：（1）不妨令$t=\frac{1}{x}$，则t∈（0+∞），$\frac{1}{x+1}$=$\frac{t}{t+1}$，
设$f（t）=ln（t+1）-\frac{t}{t+1}$，则f′（t）=$\frac{1}{t+1}$-$\frac{1}{（t+1）^{2}}$=$\frac{t}{（t+1）^{2}}$＞0，
∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0，
∴$ln（t+1）＞\frac{t}{t+1}$．
即：$ln（\frac{1}{x}+1）＞\frac{1}{x+1}$．
（2）方法一：由（1）知$ln（\frac{1}{x}+1）＞\frac{1}{x+1}$，即$ln（\frac{x+1}{x}）＞\frac{1}{x+1}$，
∴ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，…，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$，
以上各式相加得：$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
即得：$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．
方法二：当n=2时，$ln2-\frac{1}{2}=ln\frac{2}{{\sqrt{e}}}=ln\sqrt{\frac{4}{e}}＞0$，即左边＞右边，命题成立；
②假设当n=k（k≥2）时，命题成立，
即$lnk＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}$成立，
当n=k+1时
右边=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}＜lnk+\frac{1}{k+1}$
由（1）知：令x=k，有$ln\frac{k+1}{k}＞\frac{1}{k+1}$，即$ln（k+1）-lnk＞\frac{1}{k+1}$
因此有：左边=$ln（k+1）＞lnk+\frac{1}{k+1}$
故，左边＞右边，
即，当n=k+1时，命题成立．
综上①②，当n∈N且n≥2，$lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$成立．

点评 本题考查了函数单调性与不等式的证明，属于中档题．