Question

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0)，若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称.求证：f(x+)为偶函数.

Answer 1

证明略

方法一 （混合型分析法）
要证f(x+)为偶函数，只需证明其对称轴为x=0.
即只需证--="0."
只需证a=-b.（中途结果）
由已知，抛物线f(x+1)的对称轴x=-1与抛物线的对称轴x=关于y轴对称.
∴-1=-.
于是得a=-b（中途结果）.
∴f(x+)为偶函数.
方法二 （混合型分析法)
记F（x）=f(x+)，
欲证F（x）为偶函数，只需证F（-x）=F（x），
即只需证f(-x+)=f(x+)，（中途结果）.
由已知，函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称，而函数f(x)与f(-x)的图象也是关于y轴对称的，
∴f（-x）=f（x+1）.
于是有f (-x+)="f" [-(x-)]
="f" [(x-)+1]="f" (x+)（中途结果）.
∴f(x+)为偶函数.