Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）对任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由 tan2α=

2tanα

1-tan2α

，将 tanα=

2

-1代入可求解，由α为锐角，得α=

π

8

，从而计算得 sin(2α+

π

4

)=1进而求得函数表达式．
（2）由数列{a_n}的首项a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），知a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，由对任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，知

777

256

≤

37

16

(m2+m)，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1
又∵α为锐角
∴α=

π

8

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴f（x）=x²+x．
（2）∵数列{a_n}的首项a1=

1

2

，a_n+1=f（a_n），
∴a2=

1

4

+

1

2

=

3

4

，
a3=

9

16

+

3

4

=

21

16

，
a4=

441

256

+

21

16

=

777

256

，
∵对任意n∈[1，4]，an≤

37

16

(m2+m)都成立，
∴

777

256

≤

37

16

(m2+m)，
解得m∈(-∞，-

7

4

]∪[

3

4

，+∞)．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正切二倍角公式和数列递推公式的合理运用．