Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比数列，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 当n≥2时，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比数列，可得${S}_{n}^{2}$=a_n$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，于是${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式可得$\frac{1}{{S}_{n}}$，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．

解答 解：∵当n≥2时，${a_n}，{S_n}，{S_n}-\frac{1}{2}$成等比数列，
∴${S}_{n}^{2}$=a_n$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）$（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$，
化为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n=1也成立．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．