Question

【题目】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（1）请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)；
（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论；
（3）证明：直线DF⊥平面BEG.

Answer 1

【答案】
（1）解：点F、G、H的位置如图所示．

（2）解：平面BEC∥平面ACH ． 证明如下：
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG ， BC＝FG ，
又FG∥EH ， FG＝EH ， 所以BC∥EH ， BC＝EH ，
于是四边形BCEH为平行四边形，
所以BE∥CH ，
又CH平面ACH ， BE平面ACH ，
所以BE∥平面ACH ，
同理，BG∥平面ACH ，
又BE∩BG＝B ，
所以平面BEG∥平面ACH ．
（3）证明：连接FH交EG于点O ， 连接BD ．
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH ，
因为EG平面EFGH ， 所以DH⊥EG ，
又EG⊥FH ， EG∩FH＝O ，
所以EG⊥平面BFHD ，
又DF平面BFHD ， 所以DF⊥EG ，
同理DF⊥BG ，
又EG∩BG＝G ，
所以DF⊥平面BEG ．
【解析】（1）将该正方体的展开还原为空间几何体即可。
（2）重点考查了平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,则这两平面平行.
（3）重点考查了直线与平面垂直的判定：若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线,则该直线与此平面垂直。