【题目】已知 为圆
上的动点,
的坐标为
,
在线段
上,满足
.
(Ⅰ)求 的轨迹
的方程.
(Ⅱ)过点 的直线
与
交于
两点,且
,求直线
的方程.
【答案】解:(Ⅰ)设点 的坐标为
,点
的坐标为
,
依题意得 ,即
,
所以 ,解得
,
又 ,所以
,即
又 ,所以点
的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)因为直线 与曲线
交于
两点,且
,
所以原点 到直线
的距离
.
若 斜率不存在,直线
的方程为
,此时符合题意;
若 斜率存在,设直线
的方程为
,即
,
则原点 到直线
的距离
,解得
,
此时直线 的方程为
所以直线 的方程为
或
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0 , y0),利用方程思想即可求出 P 的轨迹 C 的方程,
(Ⅱ)先假设直线l的l斜率不存在,直线l的方程为x=-1,此时符合题意;若l斜率存在,设出直线l的方程,根据点到直线的距离公式即可求出答案.
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【题目】甲袋中有1只黑球,3只红球;乙袋中有2只黑球,1只红球.
(1)从甲袋中任取两球,求取出的两球颜色不相同的概率;
(2)从甲,乙两袋中各取一球,求取出的两球颜色相同的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)
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【题目】数列中,若对任意
都有
(
为常数)成立,则称
为“等差比数列”,下面对“等差比数列” 的判断:①
不可能为
;②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列 ;④通项公式为
(其中
,且
,
)的数列一定是等差比数列,其中正确的判断是( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①③
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【题目】已知圆 :
(其中
为圆心)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线
.
(1)求曲线 的方程;
(2)若点 为曲线
上一点,过点
作曲线
的切线交圆
于不同的两点
(其中
在
的右侧),已知点
.求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)+ax,其中a∈R.
(Ⅰ) 当a=﹣1时,求证:f(x)≤0;
(Ⅱ) 对任意x2≥ex1>0,存在x∈(﹣1,+∞),使 成立,求a的取值范围.(其中e是自然对数的底数,e=2.71828…)
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【题目】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论;
(3)证明:直线DF⊥平面BEG.
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【题目】设椭圆 (
)的右焦点为F,右顶点为A,已知
,其中O 为原点, e为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若 ,且
,求直线的l斜率.
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【题目】设公差大于0的等差数列{ }的前n项和为
.已知
,且
,
,
成等比数列.记数列
的前n项和为
.
(1)求 ;
(2)若对于任意的n ,k
恒成立,求实数k的取值范围.
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