Question

【题目】已知圆 ： （其中 为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上一点，过点 作曲线 的切线交圆 于不同的两点 （其中 在 的右侧），已知点 .求四边形 面积的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：设曲线 上任意一点 ，则 为 上的点，
， 曲线
（2）解：易知直线 的斜率 存在，设 ，
，
，即 ，
因为 ,设点 到直线 的距离为 ，
则 ， ，
，
由 ，
，
，
，

而 ， ，易知 ， ，
， ，

【解析】本题考查圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，基本不等式的应用，属于难题．