Question

16．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁、F₂，且F₁F₂=2$\sqrt{13}$，椭圆的长半轴长与双曲线实际轴长之差为4，离心率之比为3：7．
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）根据半焦距c=$\sqrt{13}$，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；
（2）由椭圆、双曲线的定义求出PF₁与PF₂的长，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值，进一步求得sin∠F₁PF₂ 的值，代入面积公式得答案．

解答 解：（1）由题意知，半焦距c=$\sqrt{13}$，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴a-4，
离心率之比为$\frac{3}{7}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{a}}{\frac{\sqrt{13}}{a-4}}$，解得a=7，
∴椭圆的短半轴长等于$\sqrt{49-13}=6$，
双曲线虚半轴的长为$\sqrt{13-9}=2$，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{36}=1$和$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由椭圆的定义得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2$\sqrt{13}$，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：$（2\sqrt{13}）^{2}$=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{4}{5}$，则sin$∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{3}{5}$．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}•P{F}_{2}•sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{1}{2}×10×4×\frac{3}{5}=12$．

点评 本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和几何性质、平面向量数量积的运算，考查计算能力，是中档题．