Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB+BC=4．BB₁=3，∠ABC=90°．当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时．其外接球球的表面积为（　　）

• A． $\frac{17\sqrt{17}}{6}π$
• B． 17π
• C． $\frac{17π}{2}$
• D． $\frac{17π}{4}$

Answer 1

分析 求出AB=BC=2，（S_△ABC）_max=2，此时三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球球的表面积为．

解答 解：∵AB+BC=4，∴AB•BC≤$（\frac{AB+BC}{2}）^{2}$=4，当且仅当AB=BC=2时，取等号，
∵∠ABC=90°，
∴（S_△ABC）_max=2，此时三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大，
将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，长度为$\sqrt{4+4+9}$=$\sqrt{17}$，
∴其外接球的半径为$\frac{\sqrt{17}}{2}$，表面积为4$π•\frac{17}{4}$=17π．
故选：B．

点评 本题考查外接球球的表面积，考查基本不等式的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．