Question

17．已知直线mx+y+m-1=0上存在点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$，则实数m的取值范围为$（{-\frac{1}{2}，1}）$．

Answer 1

分析 作出平面区域，可得直线过定点D（-1，1），斜率为-m，结合图象可得m的不等式组，解不等式组可得．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界AC），
直线mx+y+m-1=0可化为y-1=-m（x+1），过定点D（-1，1），斜率为-m，
要使直线mx+y+m-1=0上存在点（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≤0}\\{x-2y-3≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
则直线需与区域有公共点，K_CD=$\frac{2-1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，K_AD=$\frac{-1-1}{1-（-1）}$=-1，
∴-1＜-m$＜\frac{1}{2}$，解得-$\frac{1}{2}$＜m＜1，
故答案为：$（{-\frac{1}{2}，1}）$．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．