Question

8．已知函数f（x）=5sin（x+$\frac{π}{3}$）-acos²（x+$\frac{π}{3}$）的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，-2）
（1）求a的值
（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合
（3）若函数定义域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函数的值域．

Answer 1

分析 （1）点（-$\frac{π}{3}$，-2）代入函数式，能求出a=2
（2）利用同角三角函数关系式求出f（x）=2[sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$]²-$\frac{41}{8}$，由此利用正弦函数的性质能求出函数的最大值及此时x的取值集合．
（3）定义域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，先求出x+$\frac{π}{3}$的范围，再求出sin（x+$\frac{π}{3}$）的范围，由此能求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=5sin（x+$\frac{π}{3}$）-acos²（x+$\frac{π}{3}$）的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，-2），
∴点（-$\frac{π}{3}$，-2）代入函数式得：
f（-$\frac{π}{3}$）=5sin0-acos²0=-a=-2
解得a=2
（2）f（x）=5sin （x+$\frac{π}{3}$）-2cos²（ x+$\frac{π}{3}$）
=5sin （x+$\frac{π}{3}$）-2+2sin²（x+$\frac{π}{3}$）
=2[sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$]²-$\frac{41}{8}$，
故当sin（x+$\frac{π}{3}$）=1时，f（x）最大值为5，
此时x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x的取值集合为{x|x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k属于Z}．
（3）定义域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{3}$的范围是[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（x+$\frac{π}{3}$）的范围是[-$\frac{1}{2}$，1]
∴函数f（x）的值域为[-4，5]．

点评 本题考查三角函数的最大值及对应的x的集合的求法，考查值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．