Question

13．已知$sinα=-\frac{1}{4}，a∈（π，\frac{3π}{2}），cosβ=\frac{4}{5}，β∈（\frac{3π}{2}，2π）$，则α+β是（　　）

• A． 第一象限角
• B． 第二象限角
• C． 第三象限角
• D． 第四象限角

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数关系式先求出cosα，sinβ，再利用两角和的正弦和余弦函数求出cos（α+β）和sin（α+β），由此能判断α+β所在象限．

解答 解：∵$sinα=-\frac{1}{4}，a∈（π，\frac{3π}{2}），cosβ=\frac{4}{5}，β∈（\frac{3π}{2}，2π）$，
∴cosα=-$\sqrt{1-（-\frac{1}{4}）^{2}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
sinβ=-$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{4}{5}$-（-$\frac{1}{4}$）（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{3-4\sqrt{15}}{20}$＜0，
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=-$\frac{1}{4}×\frac{4}{5}+（-\frac{\sqrt{15}}{4}）×（-\frac{3}{5}）$=$\frac{3\sqrt{15}-4}{20}$＞0，
∵$π+\frac{3π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}+2π$，
∴α+β是第二象限角．
故选：B．

点评 本题考查两角和所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式和两角和的正弦和余弦函数公式的合理运用．