Question

1．已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若当x，y∈[-1，1]，x+y≠0时，有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）比较f（$\frac{1}{2}$）与f（$\frac{1}{3}$）的大小；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数的关系，利用赋值法进行比较即可．
（2）根据函数单调性的定义结合函数关系进行证明即可．
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）令x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{3}$，
则由（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
得（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）•[f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）]＞0．
即f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{3}$）＞0．
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（$\frac{1}{2}$）-f（$\frac{1}{3}$）＞0．
即f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{1}{3}$）．
（2）∵（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
∴令y取-y得（x-y）•[f（x）+f（-y）]＞0．
不妨设x＜y，则f（x）+f（-y）＜0，
∵f（x）是奇函数，
∴不等式等价为f（x）＜-f（-y）=f（y），
∴函数f（x）在[-1，1]上为增函数，
（3）由（2）知函数f（x）在[-1，1]上为增函数，
∴不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）等价为$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-2x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{0≤x≤1}\\{x＜\frac{1}{6}}\end{array}\right.$．解得0≤x＜$\frac{1}{6}$，即不等式的解集为[0，$\frac{1}{6}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．