Question

11．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　）

• A． y=x|x|
• B． y=x²，x∈[-1，1]
• C． $y=-\frac{1}{x}，x∈[{-1，0}）∪（{0，1}）$
• D． y=x+1

Answer 1

分析 根据奇偶性和单调性的定义对各选项作出判断，对于对于A选项：f（-x）=-x|x|=-f（x），得出f（x）为奇函数，再根据x≥0时，f（x）单调递增，推得f（x）在定义域上单调递增．

解答 解：根据奇偶性和单调性的定义对各选项判断如下：
对于A选项：y=f（x）=x|x|，f（-x）=-x|x|=-f（x），所以f（x）奇函数，
当x≥0时，f（x）=x²，单调递增，所以f（x）在定义域上单调递增，符合题意；
对于B选项：y=f（x）=x²是[-1，1]上的偶函数，不合题意；
对于C选项：y=f（x）=-$\frac{1}{x}$为奇函数，且在[-1，0）上递增，在（0，1]上递增，
但是在x∈[-1，0）∪（0，1]不是增函数，不合题意；
对于D选项：y=f（x）=x+1不具有奇偶性，不合题意；
故答案为：A．

点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，涉及单调性的判断和单调区间的确定，尤其注意函数y=-$\frac{1}{x}$在各子区间上单调递增，但在整个定义域上却不是增函数，属于中档题．