Question

1．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQ∥AB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值．

Answer 1

分析 （1）用向量表示$\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{CP}$，得出向量$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$的关系，再根据向量$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AB}$共线，得出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{PQ}$共线即可；
（2）根据向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$反向，且|$\overrightarrow{AB}$|=3|$\overrightarrow{CD}$|得出向量$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{AB}$的数量关系，即得PQ：AB的值．

解答 解：（1）∵Q为BD中点，∴$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{CQ}$，
又 P为AC中点，∴$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CP}$；
∴2$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{CQ}$-2$\overrightarrow{CP}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$）-$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$，
又向量$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{AB}$共线，
设向量$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
则2$\overrightarrow{PQ}$=（1+λ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1+λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$①，
又梯形ABCD中|$\overrightarrow{AB}$|≠|$\overrightarrow{CD}$|，∴λ≠-1，
∴$\overrightarrow{PQ}$∥$\overrightarrow{AB}$，即PQ∥AB；
（2）∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$反向，且|$\overrightarrow{AB}$|=3|$\overrightarrow{CD}$|；
所以$\overrightarrow{AB}$=-3$\overrightarrow{CD}$，即λ=-$\frac{1}{3}$代入①式，
得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴PQ：AB=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，也考查了用向量法证明线线平行的应用问题，是综合性题目．