Question

13．有以下四个命题：①动点M到两定点A，B的距离之比为常数λ（λ＞0），则动点M的轨迹是圆；②当α变化时，方程x²+y²cosα=1表示的曲线不能是椭圆；③若椭圆$\frac{{x}^{2}}{5a}$+$\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}$的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]；④已知抛物线y²=2px（p＞0）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O为原点），则y₁•y₂=-4p²．其中真命题是③④（填上你认为是真命题的所有序号）

Answer 1

分析 对于①，通过建立坐标系，求出动点的轨迹方程判断；对于②，举例加以说明；对于③，据椭圆$\frac{{x}^{2}}{5a}$+$\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}$=1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论；对于④，利用直线和抛物线的位置关系判断．

解答 解：对于①，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有$\frac{\sqrt{（x+a）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}}=λ$，
化简得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，当λ=1时，方程为x=0，不是圆．故①错误；
对于②，当0°＜α＜90°时，0＜cosα＜1，方程x²+y²cosα=1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．故②错误；
对于③，若椭圆$\frac{{x}^{2}}{5a}$+$\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}$的焦点在x轴上，∴5a＞4a²+1，
∴$\frac{1}{4}$＜a＜1．
∵椭圆的离心率为$\sqrt{\frac{5a-4{a}^{2}-1}{5a}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}（4a+\frac{1}{a}）}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{5}•2\sqrt{4a•\frac{1}{4a}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（当且仅当4a=$\frac{1}{a}$，即a=$\frac{1}{2}$时取等号），
∴椭圆的离心率的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$]．故③正确；
对于④，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，并且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，则$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}+{y}_{1}{y}_{2}=0$，解得y₁y₂=-4p²，故④正确．
∴正确命题的序号是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的基本性质，熟练掌握圆锥曲线的性质是解答该题的关键，是中档题．