Question

12．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（2，-2），$\overrightarrow{OB}$=（4，1），P点在x轴上．
（1）使$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$最小，求P坐标；
（2）若∠APB为钝角，求P横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，0），可得$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BP}$含有x的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=x²-6x+10，结合二次函数的图象与性质，可得当x=3时$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值1，得到本题答案；
（2）若∠APB为钝角，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且有$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$不共线．设P（m，0），求得向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设点P的坐标为（x，0），
可得$\overrightarrow{AP}$=（x-2，2），$\overrightarrow{BP}$=（x-4，-1）．
因此$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x-4）（x-2）-2=x²-6x+6=（x-3）²-3．
∵二次函数y=（x-3）²-3，当x=3时取得最小值为-3．
∴当x=3时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值-3，此时P（3，0）；
（2）若∠APB为钝角，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且有$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$不共线．
设P（m，0），即有$\overrightarrow{PA}$=（2-m，-2），$\overrightarrow{PB}$=（4-m，1），
则（2-m）（4-m）＜0，解得2＜m＜4．
由$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$共线，可得2-m=-2（4-m），解得m=$\frac{10}{3}$
则有P的横坐标的范围是（2，$\frac{10}{3}$）∪（$\frac{10}{3}$，4）．

点评 本题给出向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐标，求在x轴上一点P，使$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值以及∠APB为钝角，着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，同时考查向量的夹角为钝角的条件，属于中档题．