Question

9．设A、B是直线3x+4y+3=0与圆x²+y²+4y=0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是4x-3y-6=0，弦长|AB|为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根根线段AB的垂直平分线过圆的圆心，且和直线AB垂直，求出圆心坐标和直线的斜率即可得到线段AB的垂直平分线的方程，求出圆心到直线AB的距离d，利用勾股定理，求出弦长|AB|．

解答 解：∵A、B是直线3x+4y+3=0与圆x²+y²+4y=0的两个交点，
∴线段AB的垂直平分线过圆的圆心，且和直线AB垂直，
则垂直平方线的斜率k=$\frac{4}{3}$，
圆的标准方程是x²+（y+2）²=4，
则圆心坐标为（0，-2），半径R=2，
则垂直平分线的方程为y+2=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y-6=0，
圆心到直线AB的距离d=$\frac{|0-8+3|}{\sqrt{9+16}}$=1，∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：4x-3y-6=0，2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用AB垂直平分线的性质是解决本题的关键．