Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1，a_2n+1=a_2n+4ⁿ，n∈N^*
（1）求a₂，a₃
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_2n+2-a_2n，求证：$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）由递推公式能求出a₂t和a₃．
（2）先求出a_2n+1-a_2n-1=4ⁿ+（-2）^n-1，利用累加法求出a_2n+1，由a_2n=a_2n+1-4ⁿ得到a_2n，由此能求出{a_n}的通项公式．
（3）由a_2n=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{（-2）^{n}}{3}$，得b_n=4ⁿ-（-2）ⁿ，从而$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}-（-2）^{n}}$，由此能证明$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{7}{12}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1，a_2n+1=a_2n+4ⁿ，n∈N^*，
∴a₂=a₁+（-2）⁰=1+1=2，
a₃=a₂+4=2+4=6．
（2）∵a_2n=a_2n-1+（-2）^n-1，a_2n+1=a_2n+4ⁿ，n∈N^*
∴a_2n+1-a_2n=4ⁿ，${a}_{2n}-{a}_{2n-1}=（-2）^{n-1}$，
∴a_2n+1-a_2n-1=4ⁿ+（-2）^n-1，
∴a_2n+1=a₁+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_2n+1-a_2n-1
=1+（4+4²+…+4ⁿ）+[（-2）⁰+（-2）+…+（-2）^n-1]
=1+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{1-（-2）^{n}}{1+2}$
=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{（-2）^{n}}{3}$．
∴a_2n=a_2n+1-4ⁿ=$\frac{{4}^{n+1}}{3}$-$\frac{（-2）^{n}}{3}$-4ⁿ=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{（-2）^{n}}{3}$．
∴{a_n}的通项公式：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{4}^{\frac{n+1}{2}-（-2）^{\frac{n-1}{2}}}}{3}，n为奇数}\\{\frac{{4}^{\frac{n}{2}-（-2）^{\frac{n}{2}}}}{3}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（3）∵a_2n=$\frac{{4}^{n}}{3}$-$\frac{（-2）^{n}}{3}$，b_n=a_2n+2-a_2n，
∴b_n=$\frac{{4}^{n+1}}{3}-\frac{（-2）^{n+1}}{3}$-$\frac{{4}^{n}}{3}$+$\frac{（-2）^{n}}{3}$=4ⁿ-（-2）ⁿ，∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}-（-2）^{n}}$，
当n为奇数时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}+{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
当n为偶数时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴当n为奇数时，$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜0，
$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$+$\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$
＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜$\frac{1}{2}$．
当n为偶数时，$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$＜0
$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$+$\frac{1}{15}-\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n}}$
＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{1}{2}$．
综上，$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和小于$\frac{7}{12}$的证明，综合性强，难度大，解题时要注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．