Question

13．如图，△ABC中，点E、F、G分别在边BC、AC、AB上，且$\frac{AG}{GB}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AF}$；
（2）证明：$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{CG}$=0．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AC}$，然后利用比例关系表示出$\overrightarrow{AF}$．
（2）分别用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CG}$，然后相加即可证出．

解答 解：（1）∵$\frac{AG}{GB}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．
（2）$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$）=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BG}$=-$\overrightarrow{BC}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则，属于基础题．