Question

2．如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是[0，3]．

Answer 1

分析 设∠BAO=θ，则∠CAx=120°-θ，OA=2cosθ，OB=2sinθ，求得点B（0，2sinθ），点C（2cosθ+2cos（120°-θ），2sin（120°-θ），计算$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$范围．

解答 解：设∠BAO=θ，则∠CAx=120°-θ，
∴OA=2cosθ，OB=2sinθ，
∴点B（0，2sinθ），由此可得点C（2cosθ+2cos（120°-θ），2sin（120°-θ））．
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$=4sinθsin（120°-θ）=4sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）
=2$\sqrt{3}$sinθcosθ+2sin²θ=$\sqrt{3}sin2θ$+1-cos2θ=2sin（2θ$-\frac{π}{6}$）+1，
因为$0≤θ＜\frac{π}{2}$，所以$-\frac{π}{6}$≤2θ$-\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，所以-1≤2sin（2θ$-\frac{π}{6}$）≤2，
故$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围为[0，3]．
故答案为：[0，3]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求得点C的坐标，利用数量积公式以及三角函数式化简，是解题的难点和关键，属于中档题．