Question

2．已知函数f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；
（2）求出函数在[0，$\frac{2π}{3}$]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx
=sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin2ωx，
∵函数f（x）的最小正周期为π．
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π．
即ω=1．
（2）∵ω=1，
∴f（x）=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin2x，
若0≤x≤$\frac{2π}{3}$，则0≤2x≤$\frac{4π}{3}$，
∴当2x=$\frac{4π}{3}$时，函数取得最小值为（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin$\frac{4π}{3}$=-（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{4}$，
当2x=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin$\frac{π}{2}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函数f（x）的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{4}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．