Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30^o的二面角,如图二，在二面角中.

(1) 求CD与面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 对于AD上任意点H，CH是否与面ABD垂直。

Answer 1

（1）
(2) CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直

试题分析：解: 依题意，ABD=90^o，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，

△ABD与△ABC成30^o的二面角, DBY=30^o，又AB=BD=2，  A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
(1)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=；      6分
(2) 设=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，则 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)="0" 得t=，      10分
此时=(，-，0)，而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。       12分
点评：主要是考查了空间中线面位置关系的运用，属于基础题。