Question

1．若点P是曲线y=x²-lnx上一点，且在点P处的切线与直线y=x-2平行，
（1）求点P的坐标；  
（2）求函数y=x²-lnx的极小值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求出P的坐标，
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）函数的导数${f^'}（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}$，
设p（x₀，y₀），f′（x₀）=1，
∵在点P处的切线与直线y=x-2平行，
∴由f′（x）=$\frac{{2{x^2}-1}}{x}=1$得x₀=1或${x_0}=-\frac{1}{2}$（舍），代入得y₀=1，
所以 P（1，1）…..（5分）
（2）令f′（x）=0，解得${x_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（舍），
令f′（x）＞0解得$x∈（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$，函数的递增区间 $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
令f′（x）＜0，解得$x∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，函数的递减区间$（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
则f（x）的极小值为$f（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{1}{2}-ln\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查函数极值和导数之间的关系，根据导数的几何意义建立切线方程关系是求切点常用的方法，考查学生的计算能力．