Question

11．有下列命题
①f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-4）的单调减区间是（2，+∞）；
②若函数f（x）满足f（x）=f（2-x），则f（x）图象关于直线x=1对称；
③函数f'（x）=lg（x+1）+lg（x-1）是偶函数；
④设f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点．
其中所有正确命题的序号是．

Answer 1

分析 ①根据复合函数单调性之间的关系进行判断，
②根据函数对称性的定义进行判断
③求函数的定义域，根据函数奇偶性定义域关于原点对称的性质进行判断，
④举反例，利用函数极值和导数的关系进行判断．

解答 解：①由x²-4＞0得x＞2或x＜-2，即函数的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞），
设t=x²-4，则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，根据复合函数单调性的关系得，函数f（x）的单调减区间，就是函数t=x²-4的递增区间，
∵函数t=x²-4的递增区间是（2，+∞），
∴函数f（x）的递减区间是（2，+∞），故①正确；
②若函数f（x）满足f（x）=f（2-x），则f（x+1）=f（1-x），即f（x）图象关于直线x=1对称，故②正确；
③函数f（x）=lg（x+1）+lg（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），定义域关于原点不对称，
则函数为非奇非偶函数，故③错误；
④设f′（x）是函数f（x）的导函数，若f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点错误，
比如函数f（x）=x³是增函数，函数的导数f′（x）=x²，满足f′（0）=0，但0不是函数f（x）的极值点，故④错误，
故答案为：①②

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的函数的性质，函数的极值和导数，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．