Question

19．在等差数列{a_n}中，a₂=2，a₄+a₆=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2^a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）求出等差数列的公差，然后求解数列的通项公式．
（2）化简数列数列{b_n}的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=2，a₄+a₆=10；
∴2×2+6d=10，解得d=1．
∴a_n=2+1（n-2）=n．
（2）b_n=n×2ⁿ．
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n═n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．