Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
下列说法正确的有：

①②

．（写出所有正确说法的序号）
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
③函数f(x)=

x

x2+x+1

不存在承托函数；
④函数f(x)=

1

5x2-4x+11

，若函数g（x）的图象恰为f（x）在点p(1，

1

2

)处的切线，则g（x）为函数f（x）的一个承托函数．

Answer 1

分析：①函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数；
②要说明g（x）=ex为函数f（x）=e^x的一个承托函数，即证明F（x）=e^x-2x的图象恒在x轴上方；
③先求函数的值域，从而可知函数有无数个承托函数；
④先求切线方程，再求x=0，1，2时的函数值，即可判断．

解答：解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，
再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
②令F（x）=e^x-ex，F′（x）=e^x-e=0，得x=1，
当x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x=1时，F（x）取最小值=0，
∴f（x）≥g（x）对一切实数x都成立
∴②正确；
③设函数f(x)=

x

x2+x+1

=y，则yx²+（y-1）x+y=0
若y=0，则x=0，成立
若y≠0，则△≥0，即（y-1）²-4y²≥0且y≠0，
∴（3y-1）（y+1）≤0且y≠0，
∴-1≤y＜0或0＜y≤

1

3

综上知，-1≤y≤

1

3

∴y=A（A≤-1）就是它的一个承托函数，且有无数个；
∴命题③不正确；
④∵函数f(x)=

1

5x2-4x+11

，
∴f′(x)=

4-10x

(5x2-4x+11)2

∴f′(1)=

4-10

(5 -4+11)2

=-

1

24

∵f(1)=

1

5 -4+11

=

1

12

∴切线方程为：y-

1

12

=-

1

24

(x-1)，即g（x）=-

1

24

x+

1

8

∵f(0)=

1

11

，g(0)=

1

8

，∴f（0）＜g（0）
∵f(1)=

1

12

，g(1)=

1

12

，∴f（1）=g（1）
∵f(2)=

1

23

，g(2)=

1

24

，∴f（2）＞g（2）
∴命题④不正确．
故答案为：①②

点评：本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，对于不正确的命题，举反例即可，有一定的综合性．