Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数都成立，那么称为g（x）为函数f（x）的一个承托函数，给出如下命题：
①定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
②g（x）=2x为函数f（x）=e^x的一个承托函数；
③g（x）=

1

2

x为函数f（x）=x²的一个承托函数；
④对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个
其中正确的命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①f（x）=3x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=3x+1；②即证明F（x）=e^x-2x的图象恒在x轴上方，构造函数F（x）=e^x-2x，证明其恒大于0即可；③列举反例加以说明；④举例可以说明，如f（x）=cosx或f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如y=tanx或y=lgx就没有承托函数．

解答：解：①f（x）=3x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=3x+1，故命题①不正确；
②令F（x）=e^x-2x，F′（x）=e^x-2=0，得x=ln2，
当x＜ln2时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x＞ln2时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x=ln2时，F（x）取最小值=2-2ln2＞0，
∴命题②正确；
③x=1时，g（1）=

1

2

，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），当x=

1

4

时，g（

1

4

）=

1

8

，f（

1

4

）=

1

16

，显然g（

1

4

）＞f（

1

4

），命题③不正确．
④如f（x）=cosx或f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题④正确；
故正确的为：②④
故选C．

点评：本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如②，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如④，对于不正确的命题，举反例即可，如①③，属于中档题．