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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)使得f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,则下列说法正确的是(  )
A、函数f(x)=x2-2x不存在承托函数
B、g(x)=x为函数f(x)=sinx的一个承托函数
C、g(x)=x为函数f(x)=ex-1的一个承托函数
D、函数f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函数
分析:函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)是函数f(x)的一个承托函数,即说明函数f(x)的图象恒在函数g(x)的上方(至多有一个交点)A、g(x)=-1是函数f(x)=x2-2x的一个承托函数;故A做;B、举例可以说明,当x=
π
2
时,可知f(x)<g(x),可知结论错误;C、要说明g(x)=x为函数f(x)=ex-1的一个承托函数;即证明F(x)=ex-x-1的图象恒在x轴上方;④g(x)=-1是函数f(x)=
2x
x2-x+1
的一个承托函数,因此D错.
解答:解:A、令g(x)=-1,则总有f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,因此g(x)=-1是函数f(x)=x2-2x的一个承托函数,故A错;
B、令x=
π
2
,则g(
π
2
)=
π
2
>f(
π
2
)=1,因此g(x)=x不是函数f(x)=sinx的一个承托函数,故B错;
C、令F(x)=ex-x-1,F′(x)=ex-1=0,得x=0,
当x<0时,F′(x)<0,F(x)单调递减,
当x>0时,F′(x)>0,F(x)单调递增,
∴当x=0时,F(x)取最小值:0,
即F(x)=ex-x-1≥0恒成立,即f(x)≥g(x)恒成立,故C正确;
D、令g(x)=-1,则f(x)-g(x)=
2x
x2-x+1
+1
=f(x)=
x2+x +1
x2-x+1
>0,
∴总有f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,因此g(x)=-1是函数f(x)=
2x
x2-x+1
的一个承托函数,故D错;
故选C.
点评:本题是以抽象函数为承托,考查学生的创新能力,属中档题,抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A、B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.给出如下四个命题:
①对于给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
③g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数;
g(x)=
12
x
为函数f(x)=x2的一个承托函数.
其中正确的命题有
 

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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数都成立,那么称为g(x)为函数f(x)的一个承托函数,给出如下命题:
①定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
②g(x)=2x为函数f(x)=ex的一个承托函数;
③g(x)=
1
2
x为函数f(x)=x2的一个承托函数;
④对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个
其中正确的命题的个数是(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.
下列说法正确的有:
①②
①②
.(写出所有正确说法的序号)
①对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②g(x)=ex为函数f(x)=ex的一个承托函数;
③函数f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函数;
④函数f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函数g(x)的图象恰为f(x)在点p(1,
1
2
)
处的切线,则g(x)为函数f(x)的一个承托函数.

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已知定义在实数集R上的函数f(x),同时满足以下三个条件:
①f(-1)=2;②x<0时,f(x)>1;③对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判断函数f(x)的单调性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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