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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A、B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.给出如下四个命题:
①对于给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
③g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数;
g(x)=
12
x
为函数f(x)=x2的一个承托函数.
其中正确的命题有
 
分析:函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)是函数f(x)的一个承托函数,即说明函数f(x)的图象恒在函数g(x)的上方(至多有一个交点)①举例可以说明,如f(x)=cosx,则g(x)=B(B<-1)就是它的一个承托函数,且有无数个,反例如
y=tanx或y=lgx就没有承托函数;②f(x)=2x+3的定义域和值域都是R,存在一个承托函数y=2x+1,故命题②不正确;③要说明g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数;即证明F(x)=ex-2x的图象恒在x轴上方;④举反例即可.
解答:解:①如f(x)=sinx,则g(x)=B(B<-1)就是它的一个承托函数,且有无数个,再如y=tanx.y=lgx就没有承托函数,∴命题①正确;
②f(x)=2x+3的定义域和值域都是R,存在一个承托函数y=2x+1,故命题②不正确;
③令F(x)═|3x|-2x=
x   x≥0
-5x    x<0

可见在x≥0时,函数F(x)单调递增,最小值F(0)=0,
在x<0时,函数F(x)单调递减,最小值大于F(0)=0,
∴F(x)≥0在R上恒成立,符合定义
∴命题③正确;
④x=1时,g(1)=
1
2
,f(1)=1,显然g(1)<f(1),
当x=
1
4
时,g(
1
4
)=
1
8
,f(
1
4
)=
1
16
,显然g(
1
4
)>f(
1
4
),
命题④不正确.
故答案为:①③
点评:本题是新定义题,考查对题意的理解和转化的能力,要说明一个命题是正确的,必须给出证明,如③,对于存在性命题的探讨,只需举例说明即可,如①,对于不正确的命题,举反例即可,如②③,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数都成立,那么称为g(x)为函数f(x)的一个承托函数,给出如下命题:
①定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;
②g(x)=2x为函数f(x)=ex的一个承托函数;
③g(x)=
1
2
x为函数f(x)=x2的一个承托函数;
④对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个
其中正确的命题的个数是(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.
下列说法正确的有:
①②
①②
.(写出所有正确说法的序号)
①对给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②g(x)=ex为函数f(x)=ex的一个承托函数;
③函数f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函数;
④函数f(x)=
1
5x2-4x+11
,若函数g(x)的图象恰为f(x)在点p(1,
1
2
)
处的切线,则g(x)为函数f(x)的一个承托函数.

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定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)使得f(x)≥g(x)对任意的x∈R都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,则下列说法正确的是(  )
A、函数f(x)=x2-2x不存在承托函数
B、g(x)=x为函数f(x)=sinx的一个承托函数
C、g(x)=x为函数f(x)=ex-1的一个承托函数
D、函数f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函数

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在实数集R上的函数f(x),同时满足以下三个条件:
①f(-1)=2;②x<0时,f(x)>1;③对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判断函数f(x)的单调性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
116
的解集.

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