Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：分离参数得x+

3

x

+

1

x2

≥-3a．令g（x）=x+

3

x

+

1

x2

，则问题转化为g（x）_min≥-3a．利用导数可求得g（x）_min．

解答： 解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x³+3ax²+3x+1≥0，即x+

3

x

+

1

x2

≥-3a．
令g（x）=x+

3

x

+

1

x2

，则g'（x）=1-

3

x2

-

2

x3

=

x3-3x-2

x3

，
下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．
令h（x）=x³-3x-2，则h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，
∴g（x）的最小值为g（2）=

15

4

，
-3a≤g（2）=

15

4

，
解得a≥-

5

4

．

点评：该题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．