【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
为
上一点.
(1)若平面
,试说明点
的位置并证明的结论;
(2)若为
的中点,
平面
,且
,
求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)当点为
中点时有
,连接
,交
于点
,连接
,由
为菱形得
是
的中点,由三角形的中位线性质可得
,即可证明
;(2)以
为坐标原点,分别以
为
轴和
轴建立空间直角坐标系,分别求得平面
的法向量与平面
的法向量,结合图形得二面角
为锐二面角,即可求得二面角
的余弦值.
试题解析:(1)当点为
中点时有
,证明如下:
连接,交
于点
,连接
.
由菱形性质知点是
的中点.
∴
又∵
∴.
(2)由题意,以为坐标原点,分别以
为
轴和
轴建立如图所示的空间直角坐标系,设
,则由条件易知
,所以,
.
∴,
设平面的法向量为
,则
.
∴,即
,令
,则
,所以,
同理可求平面的法向量
.
所以,.
由图可知,二面角为锐二面角,故其余弦值为
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【题目】下列说法:
①集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1};
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};
③方程组的解集为{x=1,y=2}.
其中正确的有( )
A.3个B.2个
C.1个D.0个
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【题目】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价 | 4 | 6 | 7 | 8 | 10 |
销量 | 60 | 50 | 45 | 30 | 20 |
(1) 请根据上表提供的数据画出散点图,并判断是正相关还是负相关;
(2) 求出关于
的回归直线方程,若单价为9元时,预测其销量为多少?
(参考公式:回归直线方程中公式 ,
)
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【题目】如图所示,在四边形中,
,
,
.将四边形
沿对角线
折成四面体
,使平面
平面
,则下列结论中正确的结论个数是( )
①;②
;
③与平面
所成的角为
;
④四面体的体积为
.
A.个B.
个C.
个D.
个
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【题目】下表数据为某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)及对应销售价格y(单位:千元/吨) .
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 70 | 65 | 55 | 38 | 22 |
(1)若y与x有较强的线性相关关系,根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
(2)若该农产品每吨的成本为13.1千元,假设该农产品可全部卖出,利用上问所求的回归方程,预测当年产量为多少吨时,年利润Z最大?
(参考公式:回归直线方程为,
,
)
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【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
,底面
是直角梯形,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)在棱上是否存在一点
,使
//平面
?若存在,请确定
点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知直线过椭圆
的右焦点
,抛物线
的焦点为椭圆
的上顶点,且
交椭圆
于
两点,点
在直线
上的射影依次为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交
轴于点
,且
,当
变化时,证明:
为定值;
(3)当变化时,直线
与
是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.
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【题目】某车间租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件,乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件,已知设备甲每天的租赁费300元,设备乙每天的租赁费400元,现车间至少要生产A类产品100件,B类产品200件,所需租赁费最少为__元
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