Question

【题目】如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，， .

（1）当长为多少时，平面平面？

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）二面角E-AC-F的余弦值为.

【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量垂直列方程组，解得各面法向量，根据平面垂直得两法向量数量积为零，解得长，（2）利用方程组先解出各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系求结果.

试题解析：（1）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.

取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.

∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.

∴OG，AC，BD两两垂直.

∴以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），

设，

由题意，易求，

∴，

设平面AEF，平面CEF的法向量分别为，

由，，得，∴

解得. 令，∴.

同理可求.

若平面AEF⊥平面CEF，则，

∴，

解得或（舍），

即BF长为时，平面AEF⊥平面CEF.

（2）当时，，

∴，，∴EF⊥AF，EF⊥CF，

∴EF⊥平面AFC，

∴平面AFC的一个法向量为，

设平面AEC的一个法向量为，则

，∴，得，

令，得，∴.

从而.

故所求的二面角E-AC-F的余弦值为.