Question

14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 首先利用向量垂直得到两个向量的关系，然后利用平面向量的数量积的个公式求向量的夹角．

解答 解：因为平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，
所以（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，所以${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
所以cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量垂直的性质运用以及平面向量数量积的应用求向量的夹角．