Question

16．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均相等，点F为棱BC的中点，点E在棱CC₁上，且EF⊥AB₁．
（1）若CC₁=λCE，求λ的值；
（2）求二面角F-AE-C₁所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结B₁F，证明AF⊥平面BB₁C₁C得出AF⊥EF，结合EF⊥AB₁得出EF⊥平面AB₁F，于是EF⊥B₁F，利用△B₁BF∽△FCE得出CE=$\frac{1}{4}$CC₁；
（2）以F为原点建立坐标系，求出平面AEF和平面AEC₁的法向量，则两法向量的夹角或补交为所求二面角．

解答 解：（1）连接B₁F，
由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，
∵F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥侧面BB₁C₁C，∴AF⊥EF．
又EF⊥AB₁，
∴EF⊥平面AB₁F，∴EF⊥B₁F．
又∠B₁BF=∠FCE=90°，
∴△B₁BF∽△FCE，
∴$\frac{B{B}_{1}}{FC}=\frac{BF}{CE}$=2，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{4}$CC₁，
∴λ=4．
（2）设G为B₁C₁的中点，以F为原点，分别以FB，AF，FG所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系F-xyz，
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为1，
则F（0，0，0），A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{4}$），C₁（-$\frac{1}{2}$，0，1），
∴$\overrightarrow{FA}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{4}$），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FA}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，2）．
同理可得平面AEC₁的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•2}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
∵二面角F-AE-C₁为钝二面角，
∴二面角F-AE-C₁所成平面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．