Question

已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x₁∈（1，+∞），?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2以及（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，即可求出h（t），；再求出其导函数，转化为研究h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号即可得到结论；
（Ⅱ）先把问题转化为x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，；利用导函数研究出函数f（x）的单调性，并求出其最大值；再求出g（x）的最大值，两者相比即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h'（t）=-3t²+2kt+3
设t₁，t₂是h'（t）=0的两根，则t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，
且h'（t）的值在根的左右两侧异号，
∴h'（2）＞0得k＞

9

4

综上：当k＞

9

4

时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，
当k≤

9

4

时h（t）在定义域内无极值
（Ⅱ）∵对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≤g（x₂）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4时，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，
而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，
x∈[1，2]时，g(x)max=

8-4b，b≤ 3 2 5-2b，b＞ 3 2

∴

b≤ 3 2 8-4b≥10

或

b＞ 3 2 5-2b≥10

∴b≤-

1

2

点评：本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．