Question

3．证明：f（x）=x³-3x在[-1，1]上是减函数．

Answer 1

分析 解法一：利用在[-1，1]上，f′（x）＜0，证得f（x）在[-1，1]上是减函数．
解法二：用函数单调性的定义进行证明，设x₁＜x₂，运用作差法证出f（x₁）＞f（x₂）；问题得以解决．

解答 解：解法一：在[-1，1]上，∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x²-1）≤0，
∴f（x）=x³-3x在[-1，1]上是减函数．
解法二：设-1≤x₁≤x₂≤1，
∵f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$-3x₁-${{x}_{2}}^{3}$+3x₂=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$）-3（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁•x₂+${{x}_{2}}^{2}$-3）=（x₁-x₂）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3]，
由题设可得，x₁-x₂＜0，x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$＞-$\frac{3}{2}$，或x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$＜$\frac{3}{2}$，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$＜$\frac{9}{4}$，且$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$≤$\frac{3}{4}$，
∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$＜3，∴${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＜0，∴（x₁-x₂）•[${{（x}_{1}+\frac{{x}_{2}}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$${{x}_{2}}^{2}$-3＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）=x³-3x在[-1，1]上是减函数．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数单调性的定义，作差法是常用的方法，证明过程中注意符号的变化以及自变量的取值范围，属于中档题．