Question

1．过双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与C的渐近线相交于A，B两点，若△AOB（O为原点）为正三角形，则C的离心率是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据渐近线的斜率为$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，列方程得出a，b的关系，从而可求得离心率．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}x$，
∵△AOB（O为原点）为正三角形，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了双曲线的性质，属于中档题．