Question

11．已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，若以（a_n，S_n）为坐标的点在曲线y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，则数列{a_n}的通项公式为a_n=n．

Answer 1

分析 以（a_n，S_n）为坐标的点在曲线y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，可得S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$．利用递推关系n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．化为a_n-a_n-1=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：以（a_n，S_n）为坐标的点在曲线y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，
∴S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）$．
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项与公差都为1的等差数列．
∴a_n=1+（n-1）=n．
故答案为：a_n=n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．