Question

【题目】为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心后转向方向，已知∠MON＝，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为10km．

（1）求两站点A，B之间的距离；

（2）公路MO段上距离市中心30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）过O作直线OE⊥AB于E，则OE＝10，设∠EOA＝，可求∠EOB＝﹣，（），可得AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），可求AB＝，又，结合，可得cos，可求两出入口之间距离的最小值为20（）．

（2）设切点为F，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线AB的方程为y＝kx+t（k＞0），可求t＝20k，或t＝60k，可求A（﹣20，0），此时OA＝20，又由（1）可知当时，OA＝10，综上即可得解．

（1）过作直线OE⊥AB于E，则OE＝10，设∠EOA＝α，则∠EOB＝﹣α，（），

故AE＝10tan，BE＝10tan（﹣），

AB＝10tan+10tan（﹣）＝10（）＝，

又cos＝cos（﹣cos+sin）＝

由，可得：2﹣，

故cos，当且仅当2﹣，即＝时取等号，

此时，AB有最小值为20（），即两出入口之间距离的最小值为20（）．

（2）由题意可知直线AB是以为圆心，10为半径的圆的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB与圆C相切，

设切点为F，此时直线AB为圆与圆的公切线，因为，出入口A在古建筑群和市中心之间，

如图所示，以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

由CF＝5，OE＝10，因为圆的方程为x2+y2＝100，圆的方程为（x+30）2+y2＝25，

设直线AB的方程为y＝kx+t（k＞0），

则：，所以两式相除可得：＝2，所以t＝20k，或t＝60k，

所以，此时A（﹣20，0）或A（﹣60，0）（舍去），此时OA＝20，

又由（1）可知当时，OA＝10，综上，OA．

即设计出入口A离市中心的距离在10km到20km之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区．