Question

15．已知函数f（x）=3^-x（-1≤x≤1）
（1）求关于x的函数y=[f（x）]²-2a•f（x）+3（a≤3），当x∈[-1，1]时的最小值h（a）；
（2）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调递增函数或单调递减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]使得函数在区间[p，q]上的值域为p²，q²的闭区间（p＜q）；
（Ⅰ）判断（1）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若关于x的函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值h（a）；
（2）（Ⅰ）由新定义，假设h（x）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断；
（Ⅱ）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p²，q²为方程$\sqrt{x-1}$+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围．

解答 解：（1）令t=3^-x，x∈[-1，1]．由（1）知t∈[$\frac{1}{3}$，3]．
∴函数y=[f（x）]²-2af（x）+3=t²-2at+3，
对称轴x=a（a≤3）①a≤$\frac{1}{3}$时，y_min=（$\frac{1}{3}$）²-$\frac{2}{3}$a+3=$\frac{28}{9}$-$\frac{2}{3}$a，
②$\frac{1}{3}$＜a≤3时，y_min=a²-2a²+3=3-a²．
∴h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a≤3}\end{array}\right.$．
（2）（I）若h（x）为“和谐函数”，
则h（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p²，q²]．
①若p＜q≤$\frac{1}{3}$，h（x）递减，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2}{3}p={q}^{2}}\\{\frac{28}{9}-\frac{2}{3}q={p}^{2}}\end{array}\right.$，得p+q=$\frac{2}{3}$，
这与p＜q≤$\frac{1}{3}$矛盾．
②-3＜p＜q≤3时$\left\{\begin{array}{l}{3-{p}^{2}={q}^{2}}\\{3-{q}^{2}={p}^{2}}\end{array}\right.$恒成立
此时p、q、满足$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=3}\\{\frac{1}{3}≤p＜q≤3}\end{array}\right.$，这样的p，q存在．
③p＜$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$＜q≤3时，解得p=$\frac{1}{3}$矛盾．
∴（1）中h（x）是“和谐函数”，p、q满足$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+{q}^{2}=3}\\{\frac{1}{3}≤p＜q≤3}\end{array}\right.$；
（II）∵y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t在[1，+∞）递增，
由和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，
存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]，所以p≥1，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{p}^{2}-1}+t={p}^{2}}\\{\sqrt{{q}^{2}-1}+t={q}^{2}}\end{array}\right.$，
∴p²，q²为方程$\sqrt{x-1}$+t=x的二实根，
即方程x²-（2t+1）x+t²+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根，
且x≥t恒成立，
令u（x）=x²-（2t+1）x+t²+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{2t+1}{2}＞1}\\{u（1）≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞\frac{3}{4}}\\{t＞\frac{1}{2}}\\{（t-1）^{2}≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{4}$＜t≤1
∴实数t的取值范围（$\frac{3}{4}$，1]．

点评 本题考查新定义题，关键是理解题中的新定义，此题型是近几年高考常考题型．求分段函数的函数值关键是判断出自变量所属的范围．