Question

5．双曲线C的左、右焦点分别为F₁F₂，动点M在双曲线C的右支上，若所有的等腰三角形MF₁F₂均为锐角三角形，则双曲线C的离心率取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}+1$）
• B． （$\sqrt{2}+1，+∞$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$）

Answer 1

分析 由题意可得若|MF₁|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂为锐角三角形恒成立；若|MF₂|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂为锐角三角形，即有cos∠F₁F₂M＞0，由余弦定理和双曲线的定义，结合离心率公式解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由等腰三角形MF₁F₂均为锐角三角形，可得：
若|MF₁|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂为锐角三角形恒成立；
若|MF₂|=|F₁F₂|，三角形MF₁F₂为锐角三角形，即有：
cos∠F₁F₂M＞0，由余弦定理可得：
|MF₂|²+|F₁F₂|²-|MF₁|²＞0，
设|MF₂|=t=2c，由双曲线的定义可得|MF₁|=2a+2c，
即有4c²+4c²-（2c+2a）²＞0，
化简为c²-a²-2ac＞0，由e=$\frac{c}{a}$，可得：
e²-2e-1＞0，
解得e＞1+$\sqrt{2}$，（由e＞1）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意双曲线的定义的运用和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．