Question

10．点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，以线段F₁F₂为直径的圆恰好过点P，且sin∠PF₁F₂=$\frac{3}{5}$，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 根据F₁F₂为圆的直径，推断出∠F₁PF₂为直角，进而可推断出sin∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{3}{5}$，设P在右支上，|PF₂|=t，
由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+t，利用勾股定理，解方程可得双曲线的离心率．

解答 解：∵F₁F₂为圆的直径，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴sin∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{3}{5}$，
设P在右支上，|PF₂|=t，
由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+t，
可得t=$\frac{6}{5}$c，
由勾股定理可得4c²=t²+（2a+t）²，
即4c²=（$\frac{6}{5}$c）²+（2a+$\frac{6}{5}$c）²，
化简为7c²-30ac-25a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得7e²-30e-25=0，
解得e=5（负的舍去），
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查离心率的求法，注意运用直角三角形的正弦函数的定义，注意双曲线定义的灵活运用．