Question

15．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ∈R），其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$恒有|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≥$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 根据条件$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，从而求得${\overrightarrow{b}}^{2}={λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1$，而根据题意可知需满足$|\overrightarrow{b}|≥\frac{\sqrt{3}}{2}$恒成立，从而得到${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+\frac{1}{4}≥0$对任意的λ∈R恒成立，从而有△≤0，这样即可得到$-\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{1}{2}$，从而可以求出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的范围，从而便可得出$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的最小值．

解答 解：${\overrightarrow{b}}^{2}=（\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}={λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1$；
由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|≥\frac{\sqrt{3}}{4}$得，${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+\frac{3}{16}≥\frac{3}{16}$；
∴$|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞≥0$；
∴$|\overrightarrow{b}|≥\frac{\sqrt{3}}{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴$|\overrightarrow{b}|≥\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴${\overrightarrow{b}}^{2}≥\frac{3}{4}$；
∴${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+1≥\frac{3}{4}$恒成立；
∴${λ}^{2}+2cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞λ+\frac{1}{4}≥0$对任意λ∈R恒成立；
∴$△=4co{s}^{2}＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞-1≤0$；
∴$-\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}≤＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞≤\frac{2π}{3}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$夹角的最小值为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，以及向量减法的三角形法则，二次函数取值情况和判别式△的关系，向量夹角的范围，要熟悉余弦函数的图象．