Question

20．数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n+λ•2ⁿ，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，其中n∈N^*．
（1）求实数λ的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$成立的自然数n恰有3个，求正整数p的值．

Answer 1

分析 （1）可求得a₁=2，a₂=2+2λ，a₃=2+6λ；从而可得2（2+2λ+1）=2+2+6λ，从而求λ；再利用累加法求通项公式；
（2）化简可得$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{2}^{n}}$，分类讨论，当n≥3时，P≤$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5），从而判断当n≥4时，$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5）随着n的增大而减小，从而求得．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=a_n+λ•2ⁿ，
∴a₂=a₁+λ•2=2+2λ，a₃=a₂+4λ=2+6λ；
∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
∴2（2+2λ+1）=2+2+6λ，
解得，λ=1；
故a_n+1-a_n=2ⁿ，
故a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
故a_n-a₁=2+4+8+…+2^n-1=$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ-2，
故a_n-2=2ⁿ-2，
故a_n=2ⁿ；
（2）∵$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$，∴$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{2}^{n}}$，
∵P＞0，∴当n=1，2时，上式一定成立；
当n≥3时，P≤$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5），
而$\frac{\frac{16}{{2}^{n+1}}（2n+2-5）}{\frac{16}{{2}^{n}}（2n-5）}$=$\frac{2n-3}{2（2n-5）}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2n-5}$，
故当n≥4时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2n-5}$≤1，
故$\frac{16}{{2}^{n}}$（2n-5）随着n的增大而减小，
而$\frac{16}{8}$×1=2，$\frac{16}{16}$×3=3，$\frac{16}{32}$×5=2.5，
∵不等式$\frac{p}{2n-5}$≤$\frac{16}{{a}_{n}}$成立的自然数n恰有3个，
∴a₁，a₂，a₄成立，
故p=3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了累加法的应用及方程思想与分类讨论的思想应用．