Question

7．已知函数f（x）=lnx-ax²-a+2（a∈R，a为常数）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析原函数的单调性；
（2）由（1）可得，当a∈（-2，0]，f（x）在（0，1]上为增函数，求出f（x）在（0，1]上的最大值，把存在x₀∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，转化为对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，分离参数m，再由导数求得最值后得答案．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-2ax=\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
当a≤0时，f′（x）≥0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）≥0，且x＞0时，解得$0＜x≤\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∴函数f（x）在区间$（0，\sqrt{\frac{1}{2a}}]$上单调递增，在区间$[\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞）$上单调递减；
（2）由（1）知，当a∈（-2，0]时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2-2a，
对任意的a∈（-2，0]，都存在x₀∈（0，1]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，
等价于对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，
即对任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+2-2a＞0都成立，
不等式me^a+2-2a＞0可化为$m＞\frac{2a-2}{{e}^{a}}$，
记$g（a）=\frac{2a-2}{{e}^{a}}$（a∈（-2，0]），则g′（a）=$\frac{2{e}^{a}-（2a-2）{e}^{a}}{{e}^{2a}}=\frac{4-2a}{{e}^{a}}＞0$，
∴g（a）＞g（-2）=-6e²，
∴实数m的取值范围是（-6e²，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了恒成立问题的解决方法，考查分离变量法，解答此题的关键在于把恒成立问题转化为关于a的不等式，属难度较大题目．