Question

2．已知函数$f（x）=-\frac{1}{2}a{x^2}+（1+a）x-lnx（a∈R）$．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）-k（x+2）+2．若函数g（x）在区间$[\frac{1}{2}，+∞）$上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，对a讨论，0＜a＜1，a=1，a＞1，判断单调性，即可得到所求递减区间；
（Ⅱ）g（x）=x²-xlnx-k（x+2）+2在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有零点，即关于x的方程$k=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}$在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有两个不相等的实数根．令函数$h（x）=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．求出导数，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）的导数为f′（x）=-ax+1+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（a＞0），
①当a∈（0，1）时，$\frac{1}{a}＞1$．
由f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$或x＜1．
当x∈（0，1），$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$；
②当a=1时，恒有f'（x）≤0，∴f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
③当a∈（1，+∞）时，$\frac{1}{a}＜1$．
由f'（x）＜0，得x＞1或$x＜\frac{1}{a}$．
∴当$x∈（0，\frac{1}{a}）$，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递减区间为$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞）．
综上，当a∈（0，1）时，f（x）的单调递减区间为（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$；
当a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a∈（1，+∞）时，f（x）的单调递减区间为$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞）．
（Ⅱ）g（x）=x²-xlnx-k（x+2）+2在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有零点，
即关于x的方程$k=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}$在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有两个不相等的实数根．
令函数$h（x）=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．
则$h'（x）=\frac{{{x^2}+3x-2lnx-4}}{{{{（x+2）}^2}}}$．
令函数$p（x）={x^2}+3x-2lnx-4，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．
则$p'（x）=\frac{（2x-1）（x+2）}{x}$在$[\frac{1}{2}，+∞）$上有p'（x）≥0．
故p（x）在$[\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增．
∵p（1）=0，∴当$x∈[\frac{1}{2}，1）$时，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．
∵$h（\frac{1}{2}）=\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}$，h（1）=1，$h（10）=\frac{102-10ln2}{12}＞\frac{102-10}{12}=\frac{23}{3}＞$$h（\frac{1}{2}）$，
∴k的取值范围为$（1，\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}]$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数的方法，同时考查函数的零点的问题的解法，注意运用转化思想，属于中档题．